Một cơ sở sản xuất quần áo trẻ em hiện đang bán mỗi bộ sản phẩm với giá 30.000 đồng và mỗi tháng cơ sở này bán được trung bình 3000 bộ. Để cải thiện lợi nhuận, cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán. Sau khi nghiên cứu thị trường kỹ lưỡng, người quản lý nhận thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng, thì mỗi tháng số lượng sản phẩm bán ra sẽ giảm đi 100 bộ. Biết rằng vốn sản xuất một bộ quần áo trẻ em không thay đổi, ở mức 18.000 đồng. Câu hỏi đặt ra là cơ sở sản xuất này cần bán với giá mới là bao nhiêu để đạt được mức lợi nhuận lớn nhất?
Để giải quyết bài toán tối ưu hóa lợi nhuận cho cơ sở sản xuất quần áo trẻ em này, chúng ta sẽ phân tích mối quan hệ giữa giá bán, số lượng sản phẩm bán ra và chi phí sản xuất.
Giải chi tiết:
Gọi (x) là số lần giá bán được tăng thêm 1000 đồng.
Giá mỗi bộ quần áo trẻ em sau (x) lần tăng giá là: (30 + x) (nghìn đồng).
Số lượng bộ quần áo trẻ em bán ra mỗi tháng sẽ là: (3000 – 100x) (bộ).
Vốn sản xuất mỗi bộ quần áo trẻ em không đổi là 18.000 đồng, tức 18 nghìn đồng.
Lợi nhuận (L) mỗi tháng được tính bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí sản xuất.
Doanh thu là: (Giá bán) x (Số lượng bán ra)
Chi phí sản xuất là: (Vốn sản xuất mỗi bộ) x (Số lượng bán ra)
Vậy, công thức lợi nhuận (L) sẽ là:
(L = left( {30 + x} right)left( {3000 – 100x} right) – 18left( {3000 – 100x} right))
Ta có thể nhóm các hạng tử có (left( {3000 – 100x} right)) lại:
(L = left( {3000 – 100x} right)left( {30 + x – 18} right))
(L = left( {3000 – 100x} right)left( {12 + x} right))
Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và sắp xếp lại biểu thức (L) dưới dạng một hàm số bậc hai theo (x):
(L = 3000 times 12 + 3000x – 100x times 12 – 100x^2)
(L = 36000 + 3000x – 1200x – 100x^2)
(L = -100x^2 + 1800x + 36000)
Để tìm giá trị (x) mà tại đó lợi nhuận đạt mức lớn nhất, chúng ta cần tìm điểm cực trị của hàm số (L) bằng cách lấy đạo hàm theo (x) và đặt bằng 0:
(L’ = frac{dL}{dx} = -200x + 1800)
Đặt (L’ = 0) để tìm giá trị (x) tối ưu:
(-200x + 1800 = 0)
(200x = 1800)
(x = frac{1800}{200})
(x = 9)
Giá trị (x = 9) cho thấy rằng cơ sở sản xuất quần áo trẻ em cần tăng giá 9 lần, mỗi lần 1000 đồng, để đạt lợi nhuận tối đa.
Vậy, giá bán mới của mỗi bộ quần áo trẻ em để đạt lợi nhuận lớn nhất sẽ là:
Giá mới (= 30.000 + 9 times 1.000 = 30.000 + 9.000 = 39.000) đồng.
Kết luận, để đạt được lợi nhuận lớn nhất, cơ sở sản xuất quần áo trẻ em cần bán mỗi bộ sản phẩm với giá 39.000 đồng.
